Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm $M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình...

Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm $M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$. Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I\left( {a;b;c} \right),$ bán kính R có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}$

Do đó, (S) là mặt cầu có tâm $I\left( {2; - 3;0} \right)$ và bán kính $R = 5$.