Trong một kho rượu có 30% là rượu loại I. Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, đã nếm thử. Biết rằng...

Trong một kho rượu có 30% là rượu loại I. Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, đã nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận là đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.

Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\).

Gọi A là biến cố: “Chai rượu đúng là rượu loại I”, B là biến cố: “Ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I”. Ta cần tính: \(P\left( {A|B} \right)\).

Theo công thức Bayes, ta cần tính: \(P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right),P\left( {B|A} \right),P\left( {B|\overline A } \right)\)

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,3 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,7\)

\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất để ông Tùng xác nhận là rượu loại I với điều kiện đây đúng là rượu loại I nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\)

\(P\left( {B|\overline A } \right)\) là xác suất để ông Tùng xác nhận là rượu loại I với điều kiện đây không phải là rượu loại I. Vì \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,95\) nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\).

Thay vào công thức Bayes ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,3.0,9}}{{0,3.0,9 + 0,7.0,05}} \approx 0,8852\)