Câu hỏi/bài tập:
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ →u=(a,b,c) và →v=(a′;b′;c′).
a) Vectơ →n=(bc′−b′c;ca′−c′a;ab′−a′b) có vuông góc với cả hai vectơ →u và →v hay không?
b) →n=→0 khi và chỉ khi →u và →v có mối quan hệ gì?
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ →a=(x;y;z) và →b=(x′;y′;z′) được xác định bởi công thức: →a.→b=xx′+yy′+zz′.
a) Ta có: →n.→u=a(bc′−b′c)+b(ca′−c′a)+c(ab′−a′b)
=abc′−ab′c+cba′−abc′+ab′c−a′bc=(abc′−abc′)−(ab′c−ab′c)+(cba′−cba′)=0
Do đó, vectơ →n vuông góc với vectơ →u.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: →n.→v=a′(bc′−b′c)+b′(ca′−c′a)+c′(ab′−a′b)
=a′bc′−a′b′c+cb′a′−ab′c′+ab′c′−a′bc′
=(a′bc′−a′bc′)−(a′b′c−a′b′c)+(ab′c′−ab′c′)=0
Do đó, vectơ →n vuông góc với vectơ →v.
Suy ra, vectơ →n vuông góc với cả hai vectơ →u và →v.
b) Nếu →n=→0 thì {bc′−b′c=0ca′−c′a=0ab′−a′b=0(I)
+ Với a=0,b=0,c=0 thì (I) luôn đúng. Khi đó, →u và →v cùng phương.
+ Với a≠0,b≠0,c≠0, từ (I) ta có: {b′b=c′ca′a=c′cb′b=a′a, do đó, a′=ka,b′=kb,c′=kc(k∈R)
Suy ra: →v=k→u. Khi đó, →u và →v cùng phương.
Vậy →n=→0 khi và chỉ khi →u và →v cùng phương.