Cho điểm A nằm trong mặt cầu S. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu S luôn nằm trên một mặt nón xác định.. Bài 18 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao - Bài 4. Mặt nón hình nón và khối nón
Bài 18. Cho điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(S\). Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua \(A\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\) luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Giả sử \(Al\) là một tiếp tuyến của mặt cầu \(S(I;R)\) với tiếp điểm là \(M\). Khi đó nếu \(\Delta \) là đường thẳng \(AI\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(Al\) và \(\Delta \) thì \(\alpha = \widehat {MAI}\).
Ta có: \(9\sin \alpha = {{MI} \over {IA}} = {R \over {IA}}\), suy ra góc \(\alpha \) không đổi. Vậy \(Al\) là đường sinh của mặt nón \((N)\) có đỉnh \(A\) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \).