Bài 35 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:...

Bài 35. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
$a)\,y = {{2x - 1} \over {{x^2}}} + x - 3\,;$             $b)\,\,{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}}$

$c)\,\,{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1\,}}\,\,;$                             $d)\,\,{{{x^2} + x + 1} \over { - 5{x^2} - 2x + 3}}$

a) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}$
* Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{2x - 1} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {{2 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \right) = 0$ nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ {0;2} \right\}$
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty$ nên $x = 2$ là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng $y = ax +b$

$\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + 2} \over {{x^3} - 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {2 \over {{x^3}}}} \over {1 - {2 \over x}}} = 1 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 2} \over {{x^2} - 2x}} = 2 \cr}$

Đường thẳng $y = x + 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng .
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty$ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng $y = ax + b$

$\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + x + 1} \over {x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} - 1}} = 0 \cr}$

$\Rightarrow y = x$ là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;{3 \over 5}} \right\}$
* Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over { - 5 - {2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}} =  - {1 \over 5}$ nên $y =  - {1 \over 5}$ là tiệm cận ngang.
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  - \infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} =  + \infty$ nên $x = {3 \over 5}$ là tiệm cận đứng.