Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:...

Bài 34. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y = {{x - 2} \over {3x + 2}}$                                  b) $y = {{ - 2x - 2} \over {x + 3}}$
c) $y = x + 2 - {1 \over {x - 3}}$                     d) $y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}$
e) $y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}$                                   f) $y = {x \over {{x^3} + 1}}$

Gỉải

a) TXĐ: $D = \mathbb R\backslash \left\{ { - {2 \over 3}} \right\}$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x + 2} \over {3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 - {2 \over x}} \over {3 + {2 \over x}}} = {1 \over 3}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {1 \over 3}$ nên đường thẳng $y = {1 \over 3}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ + }} y =  - \infty$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ - }} y =  + \infty$; nên đường thẳng $x =  - {2 \over 3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3} \right\}$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 2 - {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} =  - 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2$ nên đường thẳng $y =  - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} y =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} y =  - \infty$ nên đường thẳng $x =  - 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y =  + \infty$ nên đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0$ nên đường thẳng $y = x + 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y =  - \infty$ nên đường thẳng $x =  - {1 \over 2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng $y = ax + b$

$\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = - {7 \over 4} \cr}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty$

Đường thẳng $y = {x \over 2} - {7 \over 4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$).
Cách khác:
Ta có: $y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0$ nên đường thẳng $y = {x \over 2} - {7 \over 4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$
* Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0$ nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty$ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty$ nên đường thẳng $x =  - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$
* Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.