Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các...

Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:...

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau. Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao – Bài 5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 36. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

\(a)\,\,y = \sqrt {{x^2} – 1} \,\,\);        b) \(y = 2x + \sqrt {{x^2} – 1} \)
c) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) d) \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} \).

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( – \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} – 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x\sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1}  – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x \to  + \infty \).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  – \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{\sqrt {{x^2} – 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{ – x\sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \over x} =  – \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}}  =  – 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1}  – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  – \infty \)).
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( – \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y – 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1}  – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = 3x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \)).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  – \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {2 – \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1}  + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1}  – x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  – \infty \))
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

Đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))
* Tiệm cận khi \(x \to  – \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {1 \over {x – \sqrt {{x^2} – 1} }} = 0\)
Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang (khi \(x \to  – \infty \))
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)

\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} – x} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr} \)

Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{ – x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  =  – 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1}  – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { – \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} =  – {1 \over 2}\)
Đường thẳng \(y =  – x – {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  – \infty \))