a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.. Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao - Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức
Bài 47. Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).
a) Với \(m = 2\) ta có: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y’ = 4{x^3} - 6x;\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4} \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(y” = 12{x^2} - 6;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)
Đồ thị có hai điểm uốn : \({I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\) và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Điểm đặc biệt
\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi
\({y_o} = x_o^4 - \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m \Leftrightarrow \left( {1 - x_o^2} \right)m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Đồ thị đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) với moi giá trị của \(m\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) nghiệm đúng với mọi \(m\), tức là:
\(\left\{ \matrix{
1 - x_o^2 = 0 \hfill \cr
x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = - 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \((-1;0)\) và \((1;0)\).