Bài 48 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số: Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị. b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với . Viết phương...

Bài 48. Cho hàm số: $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m$
a) Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m = {1 \over 2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

a) TXĐ: $D =\mathbb R$

$y = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right);\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.$

Nếu $m> 0$ thì $y’=0$ $\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x =  - \sqrt m$ hoặc $x = \sqrt m$

Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu $m \le 0$ thì ${x^2} - m \ge 0$ với mọi $x \in\mathbb R$

Hàm số có $1$ cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m>0$.
b) Với $m = {1 \over 2}$ ta có $y = {x^4} - {x^2} + 1$
TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr & y’ = 4{x^3} - 2x = 2x\left( {2{x^2} - 1} \right);\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4} \hfill \cr} \right. \cr}$

$y” = 12{x^2} - 2;\,y” = 0 \Leftrightarrow x =  \pm {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 6}} \right) = {{31} \over {36}}$

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn: ${I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$ và ${I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$
Điểm đặc biệt: $x =  \pm 1 \Rightarrow y = 1$

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Phương trình tiếp tuyến tại  ${I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$ là $y - {{31} \over {36}} = y’\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x + {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)$

$\Leftrightarrow y = {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}$

+ Tương tự phương trình tiếp tuyến tại ${I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$ là: $y =  - {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}$