Bài 59 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình và các đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi ...

Bài 59. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình ${y^2} = {x^3}$ và các đường thẳng $y = 0,x = 1.$ Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A

a) Quanh trục hoành;                b) Quanh trục tung.

a) Ta có $y = \sqrt {{x^3}} \,\,\left( {y \ge 0} \right)$

Thể tích cần tìm là: $V = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}dx = \left. {{{\pi {x^4}} \over 4}} \right|} _0^1 = {\pi  \over 4}$

b) Ta có $x = \root 3 \of {{y^2}}$

Thể tích cần tìm là: $V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{1^2}-\root 3 \of {{y^4}} } \right)} dy = \left. {\pi \left( {y - {3 \over 7}{y^{{7 \over 3}}}} \right)} \right|_0^1 = {{4\pi } \over 7}.$