Câu 3.72 trang 154 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung...

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $x = {{\sqrt {2y} } \over {{y^2} + 1}},y = 0,y = 1$                                              

b) $x = 2x - {x^2},y = 0,x = 2$

c) Hình tròn có tâm $I\left( {2;0} \right)$, bán kính  = 1

Giải

a) $V = \pi \int\limits_0^1 {{{2y} \over {{{\left( {{y^2} + 1} \right)}^2}}}dy = } {\pi  \over 2}$         

b) Ta có $x = 1 + \sqrt {1 - y}$ hoặc $x = 1 - \sqrt {1 - y}$. Vậy

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} dy - \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} dy$

     $= 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy = {{8\pi } \over 3}}$

c) Ta có $x = 2 + \sqrt {1 - {y^2}}$  hoặc $x = 2 - \sqrt {1 - {y^2}}$. Vậy

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} dy$

       $- \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} dy$

$= 16\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {y^2}} dy = 4{\pi ^2}}$

Để tính tích phân trên ta đổi biến $y = \sin t$