Bài 7 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} ;$           

$b)\,f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);$                

c) $f\left( x \right) =  - {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};$                     

d) $f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.$ 

a) Đặt $u = \sqrt {7 - 3{x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 7 - 3{x^2} \Rightarrow 2udu =  - 6xdx \Rightarrow 3xdx =  - udu$

Do đó $\int {3x\sqrt {7 - 3{x^2}} dx =  - \int {{u^2}du =  - {{{u^3}} \over 3} + C}  =  - {1 \over 3}\sqrt {{{\left( {7 - 3{x^2}} \right)}^3}}  + C}$ 

b) $\int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx = {1 \over 3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C}$      

c) $\int {{{dx} \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = {1 \over 3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C}$      

d) Đặt $u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du$ 

Do đó $\int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du = {{{u^6}} \over 2} + C = {1 \over 2}{{\sin }^6}\left( {{x \over 3}} \right) + C.} }$