Câu 3.21 trang 144 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Sử dụng kết quả bài 3.20 để tìm...

Sử dụng kết quả bài 3.20 để tìm

a) $\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx$                      b) $\int {{e^x}\sin } xdx$       

c) $\int {{e^x}\sin 2} xdx$

Giải

a) Đặt $u = {e^x},v’ = c{\rm{os}}x$, ta dẫn đến

   $\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin } xdx$       (1)

Tương tự:

   $\int {{e^x}\sin } xdx =  - {e^x}{\rm{cos}}x + \int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx$      (2)

Thay (2) vào (1), ta được  

 $\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {e^x}\sin x + {e^x}{\rm{cos}}x - \int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx$

Suy ra

  $\int {{e^x}{\rm{cos}}} xdx = {1 \over 2}{e^x}\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right) + C$      

Tương tự

b) ${1 \over 2}{e^x}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x - {\rm{cos}}x} \right) + C$                              

c) ${1 \over 2}{e^x}\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - 2{\rm{cos2}}x} \right) + C$