Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right);$                         

b) $f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};$ 

c) $f\left( x \right) = {x^3}{e^x};$                                     

d) $f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.$

a) Đặt $u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du$   

Do đó $\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} }  + C = {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C$ 

b) Đăt $u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx \Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx =  - du$ 

$\Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx =  - \int {udu =  - {{{u^2}} \over 2} + C =  - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C} }$ 

c) Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^3} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 3{x^2}dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} }$ 

Tính ${I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx$

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)}$ 

Tính ${I_2} = \int {x{e^x}dx}$

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx = {e^x}\left( {x - 1} \right) + C}$

Thay ${I_2}$ vào (2) ta được: ${I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C$

Thay ${I_1}$ vào (1) ta được : $I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C$

d) Đặt $u = \sqrt {3x - 9}  \Rightarrow {u^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}$

Do đó $\int {{e^{\sqrt {3x - 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left( {u - 1} \right) + C} }$ (bài 6c)

$= {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x - 9} }}\left( {\sqrt {3x - 9}  - 1} \right) + C$