Câu 3.20 trang 143 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Giả sử khi áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, ta dẫn...

Giả sử khi áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, ta dẫn đến

               $\int {f\left( x \right)} dx = aG\left( x \right) - b\int {f\left( x \right)} dx$

Với $b \ne 1$

Chứng minh rằng

                                $\int {f\left( x \right)} dx = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + C$ với C là hằng số.

Giải

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx + b} \int {f\left( x \right)} dx = aG\left( x \right) + {C_1}$ (${C_1}$ là hằng số nào đó).

Hay $\left( {b + 1} \right)f\left( x \right)dx = aG\left( x \right) + {C_1}$

Do đó: $\int {f\left( x \right)dx}  = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + {{{C_1}} \over {b + 1}} = {{aG\left( x \right)} \over {b + 1}} + C$