Câu 3.22 trang 144 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $\int {{x^3}\sin } xdx$                 b) $\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx$        

Giải

a) Đặt $u = {x^3},v =  - c{\rm{os}}x$                 

Ta có $\int {{x^3}\sin } xdx =  - {x^3}{\rm{cos}}x + 3\int {{x^2}{\rm{cos}}x} dx$.

Tiếp tục tính $\int {{x^2}{\rm{cos}}} xdx$ bằng cách lấy nguyên hàm từng phần.

 $\int {{x^3}\sin } xdx$

$= - {x^3}{\rm{cos}}x + 3{x^2}\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C$

b) ${{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C$

Biến đổi $u = \ln x$ . Khi đó $\sin \left( {\ln x} \right)dx = {e^u}\sin udu$. Ta có

$\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx = \int {e^u}\sin udu$

$= {1 \over 2}{e^u}\left( {\sin u - c{\rm{os}}u} \right)  + C$

$= {{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C$