Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(\int {{x^3}\sin } xdx\) b) \(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx\)
Giải
a) Đặt \(u = {x^3},v = - c{\rm{os}}x\)
Ta có \(\int {{x^3}\sin } xdx = - {x^3}{\rm{cos}}x + 3\int {{x^2}{\rm{cos}}x} dx\).
Tiếp tục tính \(\int {{x^2}{\rm{cos}}} xdx\) bằng cách lấy nguyên hàm từng phần.
\(\int {{x^3}\sin } xdx\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= - {x^3}{\rm{cos}}x + 3{x^2}\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C\)
b) \({{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)
Biến đổi \(u = \ln x\) . Khi đó \(\sin \left( {\ln x} \right)dx = {e^u}\sin udu\). Ta có
\(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx = \int {e^u}\sin udu\)
\(= {1 \over 2}{e^u}\left( {\sin u - c{\rm{os}}u} \right) + C\)
\( = {{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)