Bài 11 trang 101 Hình học 12: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD...

Bài 11. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và phương trình tham số của đường thẳng $AD$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $AD$ và song song với $BC$.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)$, $\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)$.

Gọi $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ thì:

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$

$\Rightarrow \overrightarrow n  = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)$.

Chọn vectơ $(3; -5; -2)$ là vectơ pháp tuyến của mp $(ABC)$ và được phương trình:

$3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0$

Đường thẳng $AD$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)$ và đi qua $A(-1; 2; 0)$ có phương trình chính tắc là:

${{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 2}}$

b) Ta có: $\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)$, $\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)$

Gọi $\overrightarrow m$ là vectơ pháp tuyến của mp $(α)$ thì:

$\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)$

$(α)$ chứa $AD$ nên chứa điểm $A(-1; 2; 0)$

Phương trình của $(α)$ là:

$5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 5x - 9y  - 2z + 23 = 0$.