Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12: Viết phương trình các mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau...

Bài 15. Cho hai đường thẳng chéo nhau

d :$\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.$ và $d’:\left\{ \matrix{ x = 2 + 2k \hfill \cr y = k \hfill \cr z = 1 + k. \hfill \cr} \right.$

a) Viết phương trình các mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ song song với nhau và lần lượt chứa $d$ và $d’$.

b) Lấy hai điểm $M(2 ; -1 ; 1)$ và $M'(2 ; 0 ; 1)$ lần lượt trên $d$ và $d’$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(β)$ và khoảng cách từ $M’$ đến mặt phẳng $(α)$. So sánh hai khoảng cách đó.

a) Mặt phẳng $(α)$ chính là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $d’$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)$.

$d’$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a’}  = (2; 1; 1)$

Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ của $(α)$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow {a’}$ nên:

$\overrightarrow n  = (1.1 - 1.(-1); (-1).2 - 1.(-1); (-1).1 - 2.1)$

      $= (2; -1; -3)$

Đường thẳng $d$ chứa điểm $A(2; -1; 1)$. Mặt phẳng $(α)$ chứa $d$ nên chứa điểm $A$. Phương trình của $(α)$:

$2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow  2x - y - 3z - 2 = 0$

Tương tự ta có $(β)$: $2x - y - 3z - 1 = 0$

b) Ta có: $d (M,(β))$ =${{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 2} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}$

Tương tự, ta có: $d (M’,(α))$ = ${1 \over {\sqrt {14} }}$

$\Rightarrow d(M,(β)) = d(M’, (α))$