Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12: ho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0...

Bài 16. Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(α)$ có phương trình $4x + y + 2z + 1 = 0$ và mặt phẳng $(β)$ có phương trình $2x - 2y + z + 3 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(α)$ cắt $(β)$.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ là giao của $(α)$ và $(β)$.

c) Tìm điểm $M’$ đối xứng với điểm $M(4 ; 2 ; 1)$ qua mặt phẳng $(α)$.

d) Tìm điểm $N’$ đối xứng với điểm $N(0 ; 2 ; 4)$ qua đường thẳng $d$.

Giải

a) Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4; 1; 2)$

Mặt phẳng $(β)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n’}  = (2; -2; 1)$

Vì ${4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow n$ và $\overrightarrow {n’}$ không cùng phương.

Suy ra $(α)$ và $(β)$ cắt nhau.

b) $(α)$ cắt $(β)$ nên $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ có giá vuông góc với đường thẳng $d$, vì vậy vectơ $\overrightarrow {{u_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10$) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Ta có thể chọn vectơ $\overrightarrow u = (1; 0; -2)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên $d$.

Xét hệ$\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.$

Lấy điểm $M_0(1; 1; -3) ∈ d$.

Phương trình tham số của $d$ là:$\left\{ \matrix{ x = 1 + s \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.$

c) Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4; 1; 2)$.

Đường thẳng $∆$ đi qua $M(4; 2; 1)$ và vuông góc với $(α)$, nhận vectơ $\overrightarrow n$ làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

$\left\{ \matrix{ x = 4 + 4t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.$

Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $(α)$ bằng cách thay các biểu thức của $x, y, z$  theo $t$ vào phương trình của $(α)$, ta có:

$4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1$

Từ đây ta tính được $H (0; 1; -1)$

Gọi $M’ (x; y; z)$ là điểm đối xứng với $M$ qua mp $(α)$ thì $\overrightarrow {MM’}  = 2\overrightarrow {MH}$:

$\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)$

$\overrightarrow {MM’} = (x - 4; y - 2; z - 1)$.

$\overrightarrow {MM’} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow M( - 4;0; - 3)$

d) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a  = (1; 0; -2)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $N(0; 2; 4)$ và vuông góc với $d$, nhận $\overrightarrow a$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

$1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0$

$(P)$: $x - 2y + 8 = 0$

Ta tìm giao điểm $I$ của $d$ và $(P)$. Ta có:

$t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0$$\Leftrightarrow  5t + 10 = 0\Leftrightarrow  t = -2$

$\Leftrightarrow I( -2; 1; 3)$

$N’ (x; y; z)$ là điểm đối xứng của $N$ qua $d$ thì $\overrightarrow {NN’}  = 2\overrightarrow {NI}$

$\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)$, $\overrightarrow {NN’}  = (x; y - 2; z - 4)$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = ( - 2).2 \hfill \cr y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 2 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow N'( - 4;0;2)$

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay