Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12: Viết phương trình mặt phẳng (BCD)...

Bài 12. Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)$ và $D(-1 ; 1 ; 2)$

a) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$.

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của $(S)$ và mặt phẳng $(BCD)$.

a) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = (-3; 0; 1)$, $\overrightarrow {BD}  = (-4; -1; 2)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mp $(BCD)$ thì:

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)$

Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (1; 2; 3)$ có phương trình:

$1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0$

Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình của mp $(BCD)$, ta có:

$3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0$

Vậy $A ∉ (BCD)$ $\Rightarrow$bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

b) Mặt cầu tâm $A$, tiếp xúc với mp $(BCD)$ có bán kính bằng khoảng cách từ $A$ đến mp $(BCD)$:

$r = d (A,(BCD))$ =${{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14}$

Phương trình mặt cầu cần tìm:

$(S) (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14$

c) Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ và vuông góc với mp $(BCD)$ là:

$\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 2t \hfill \cr z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.$

Thay các biểu thực này vào phương trình của $(BCD)$, ta có:

$(3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0$$\Leftrightarrow t = 1$

Từ đây ta được toạ độ điểm $H$, tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ và mp $(BCD)$:

$\left\{ \matrix{ x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr y = - 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr z = - 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow$ $H(4; 0; 1)$