Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12: Viết phương trình mặt phẳng (BCD)...

Bài 12. Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)\) và \(D(-1 ; 1 ; 2)\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((BCD)\).

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của \((S)\) và mặt phẳng \((BCD)\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = (-3; 0; 1)\), \(\overrightarrow {BD}  = (-4; -1; 2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mp \((BCD)\) thì:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1; 2; 3)\) có phương trình:

\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)

Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của mp \((BCD)\), ta có:

\(3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0\)

Vậy \(A ∉ (BCD)\) \( \Rightarrow \)bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

b) Mặt cầu tâm \(A\), tiếp xúc với mp \((BCD)\) có bán kính bằng khoảng cách từ \(A\) đến mp \((BCD)\):

\(r = d (A,(BCD))\) =\({{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu cần tìm:

\((S) (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14\)

c) Phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(A\) và vuông góc với mp \((BCD)\) là:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 + t \hfill \cr
y = - 2 + 2t \hfill \cr
z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Thay các biểu thực này vào phương trình của \((BCD)\), ta có:

\((3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0 \)\( \Leftrightarrow t = 1\)

Từ đây ta được toạ độ điểm \(H\), tiếp điểm của mặt cầu \((S)\) và mp \((BCD)\):

\(\left\{ \matrix{
x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr
y = - 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr
z = - 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \) \( H(4; 0; 1)\)