Bài 5 trang 26 Hình học 12: Hãy tính đường cao OH của hình chóp...

Bài 5. Cho hình chóp tam giác $O.ABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a, OB = b, OC = c$. Hãy tính đường cao $OH$ của hình chóp.

Kẻ $AD\bot BC, OH \bot AD$ thì dễ thấy $OH$ chính là đường cao của hình chóp.

Vì $OD.BC = OB.OC$ nên $OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$ . Từ đó suy ra

$AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ = $\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ .

Vì $OH.AD = OA.OD$ nên

$OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}  = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}$