Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,AD=b,SA=c. Lấy các điểm B′,D′ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB′ vuông góc với SB,AD′ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp S.AB′C′D′.
Ta có BC⊥(SAB)⇒BC⊥AB′
Theo giả thiết SB⊥AB′
AB′⊥(SBC)⇒AB′⊥SC (1)
Chứng minh tương tự ta có:
AD′⊥SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra SC⊥(AB′C′D′) hay SC là đường cao của hình chóp S.AB′C′D′.
Từ AB′⊥(SBC) ⇒AB′⊥B′C′
Tương tự ta có: AD′⊥D′C′
Từ các kết quả trên, ta được:
VAB′C′D′=13.SC′.12(AB′.B′C′+AD′.D′C′)
= 16SC′.(AB′.B′C′+AD′.D′C′) (*)
Ta tính các yếu tố trên.
Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác vuông SAB có AB′ là đường cao, nên ta có:
{1 \over {AB{‘^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{‘^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}
\Rightarrow AB’ = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}
Tương tự, ta có:
AD{‘^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD’ = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}
Ta lại có: SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2
\Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
Trong tam giác vuông SAC, AC’ là đường cao thuộc cạnh huyền
SC’.SC = SA^2 \Rightarrow SC’ = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
∆SBC đồng dạng ∆SC’B’ \Rightarrow {{B’C’} \over {BC}} = {{SC’} \over {SB}}
\Rightarrow B’C’ = {{SC’.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
Tương tự ta có: D’C’ = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}
Thay các kết quả này vào (*) ta được:
V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}