Advertisements (Quảng cáo)
Bài 5. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x – 2y – z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).
Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:
\(d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 – 2.( – 2) – 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)
Vì \(d(I, α) < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có phương trình \((C)\):
\(\left\{ \matrix{
2x – 2y – z + 9 = 0 \hfill \cr
{(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 100 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).
Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2, -2. 1)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) :
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = – 2 – 2t \hfill \cr
z = 1 – t \hfill \cr} \right.\)
Thế các biểu thức của \(x,y,z\) theo \(t\) vào phương trình của \((\alpha)\) ta được:
\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\)
\(\Rightarrow t=-2\)
Thay \(t = -2\) vào phương trình của \(d\), ta được toạ độ tâm \(K\) của đường tròn \((C)\).
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2.( – 2) = – 1 \hfill \cr
y = – 2 – 2.( – 2) = 2 \hfill \cr
z = 1 – 2.( – 2) = 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow K(-1; 2;3)\)
Ta có: \(I{K^2} = {\rm{ }}{\left( { – 1{\rm{ }} – {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {3{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}36\)
Bán kính \(r\) của đường tròn \((C)\) là:
\({r^2} = {\rm{ }}{R^2} – {\rm{ }}I{K^2} = {\rm{ }}{10^2} – {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}64\) \( \Rightarrow r= 8\)