Bài 8 trang 93 Toán Hình học 12: viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu...

Bài 8. Trong hệ toạ độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu

(S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0$

và song song với hai đường thẳng

$d:\left\{ \matrix{ x = - 5 + 2t \hfill \cr y = 1 - 3t \hfill \cr z = - 13 + 2t \hfill \cr} \right.$

$d’:\left\{ \matrix{ x = - 7 + 3k \hfill \cr y = - 1 - 2k \hfill \cr z = 8 \hfill \cr} \right.$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = (2; -3; 2)$

                    $d’$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a’}  = (3; -2; 0)$

Mặt phẳng $(α)$ song song với $d$ và $d’$ nhận vectơ $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a’} } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

$\overrightarrow n$ = (4; 6; 5)

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $4x + 6y + 5z + D = 0$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(5; -1; -13)$ và bán kính $R = 5$. Để $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, ta phải có:

$d(I, (α)) = R  \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5$

                     $\Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = 5\sqrt {77}$

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) $D - 51 = 5\sqrt{77}$ $\Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77}  = 0$

+) $D - 51 = -5\sqrt{77}$ $\Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77}  = 0$