Bài 9 trang 93 Toán Hình 12: Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M( 1 ; -1 ; 2)...

Bài 9. Trong hệ toạ độ $Oxyz$, tìm toạ độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M( 1 ; -1 ; 2)$ trên mặt phẳng $(α): 2x - y + 2z +11 = 0$

Điểm $H$, hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mp $(α)$ chính là giao điểm của đường thẳng $∆$ đi qua $M$ và vuông góc với $(α)$. Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (2; -1; 2)$.

Đường thẳng $∆$ vuông góc với mp$(α)$ nhận $\overrightarrow n$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của $∆$:

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.$

Thay các biểu thức này vào phương trình $mp (α)$, ta có:

$2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0$

$\Leftrightarrow   t = -2$.

Từ đây ta được $H(-3; 1; -2)$.