Lý thuyết hàm số lũy thừa: Bài 2. Hàm số lũy thừa...

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= x^α, với α là một số thực đã cho. Các hàm số  lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α: 

– Nếu α ∈ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ.

– Nếu α ∈ ℤ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ{0}.

– Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

Chú ý: Hàm số y=  có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=  có tập xác định ℝ, trong khi đó các hàm y= , y=  đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy  y=  và y=  ( hay y=  và y=  ) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

– Hàm số y= x^α  có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (x^α)^’= αx^α-1

– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số 

y= u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và (u^α(x))^’= αu^α-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu  u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.

5. Đạo hàm của căn thức 

Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa  ( tập xác định của y=  chứa tập xác định của  y=  và trên tập xác định của y=  hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y=  có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y=  =  và = , do đó = . Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y=  không có đạo hàm tại x= 0.

Khi n chẵn hàm y=  có tập xác định là  [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức

 = .

Tóm lại, ta có    đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn, u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J, 

6. Đồ thị hàm số y=x^α trên khoảng (0; +∞)

Chú ý khi khảo sát hàm số y= x^α với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).