1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= xα, với α là một số thực đã cho. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:
- Nếu α ∈ ℤ+ thì tập các định là ℝ.
- Nếu α ∈ ℤ ℤ+ thì tập các định là ℝ{0}.
- Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).
Chú ý: Hàm số y= 
có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=
có tập xác định ℝ, trong khi đó các hàm y=
, y= 
đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy y= và y= ( hay y= và y= ) là những hàm số khác nhau.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số y= xα có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)’= αxα-1
- Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số
y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x))’= αuα-1(x)u’(x).
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Advertisements (Quảng cáo)
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xn)’= nxn-1 và ∀x ∈ J, (un(x))’= nun-1(x)u’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xn)’= nxn-1 và ∀x ∈ J, (un(x))’= nun-1(x)u’(x) nếu u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.
5. Đạo hàm của căn thức
Hàm số
có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa 
( tập xác định của y= 
chứa tập xác định của y= 
và trên tập xác định của y= hai hàm số trùng nhau).
Khi n lẻ thì hàm số y= có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y= = và 
= 
, do đó = 
. Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y= không có đạo hàm tại x= 0.
Khi n chẵn hàm y= có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo 
công thức
= .
Tóm lại, ta có đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn, u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J, 
6. Đồ thị hàm số y=xα trên khoảng (0; +∞)
Chú ý khi khảo sát hàm số y= xα với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).