Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:
a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;
b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.
– Sử dụng tam giác Abc cân tại A suy ra AM là đường trung trực của BC.
– Chứng minh: A, M thuộc đường trung trực của EF.
Suy ra ME = MF bà AM là đường trung trực của đường thẳng EF.
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).
Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.
Lại có M là trung điểm của BC.
Nên AM là đường trung trực của BC.
Vậy AM là trung trực của đoạn thẳng BC.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\hat B = \hat C\) (hai góc ở đáy).
Xét ∆EBM và ∆FCM có:
\(\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BM = CM (do M là trung điểm của BC),
\(\hat B = \hat C\) (chứng minh trên)
Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1)
Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC.
Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF.
Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.
Vậy ME = MF và AM là đường trung trực của EF.