Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.
a)So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b)So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn làm bài:
a)So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC
BG cắt AC tại N
CG cắt AB tại E
G là trọng tâm của ∆ABC
=> \(GA = {2 \over 3}AM\)
Mà GA = GG’ (G là trung điểm của AG’)
=> \(GG’ = {2 \over 3}AM\)
Vì G là trọng tâm của ∆ABC => \(GB = {2 \over 3}BN\)
Mặt khác :
M là trung điểm \(\left. {\matrix{{GM = {1 \over 2}AG\left( {TT} \right)} \cr {AG = GG’\left( {Gt} \right)} \cr} } \right\} = > GM = {1 \over 2}GG’\)
Do đó ∆GMC=∆G’MB vì \(\left\{ {\matrix{{GM = MG’} \cr {MB = MC} \cr {\widehat {GMC} = \widehat {G’MB}} \cr } } \right.\)
=> \({\matrix{{BG’ = CG} \cr {{\rm{ }}CG = {2 \over 3}CE} \cr} }\) (G là trọng tâm tam giác ABC)
\(= > BG’ = {2 \over 3}CE\)
Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng \({2 \over 3}\) đường trung tuyến của ∆ABC
b)So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC.
-Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’
Mà M là trung điểm của BC nên \(BM = {1 \over 2}BC\)
Vì \({IG = {1 \over 2}BG}\) (Vì I là trung điểm BG)
\({GN = {1 \over 2}BG}\) (G là trọng tâm)
=> IG = GN
Do đó ∆IGG’=∆NGA (c.g.c) => \(IG’ = AN = > IG’ = {{AC} \over 2}\)
-Gọi K là trung điểm BG => GK là trung điểm ∆BGG’
Vì \({GE = {1 \over 2}GC}\) (G là trọng tâm tam giác ABC)
BG’ = GC (Chứng minh trên)
\(= > GE = {1 \over 2}BG\)
Mà K là trung điểm BG’ =>KG’ = EG
Vì ∆GMC = ∆G’MB (chứng minh trên)
=> \(\widehat {GCM} = \widehat {G’BM}\) (So le trong)
=>CE // BG’ => \(\widehat {AGE} = \widehat {AG’B}\) (đồng vị)
Do đó ∆AGE = ∆GG’K (c.g.c) =>AE = GK
Mà \(AE = {1 \over 2}AB \Rightarrow GK = {1 \over 2}AB\)
Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó.