Câu hỏi 4 Bài 2 trang 58 SGK Toán 7 Tập 2 : Bài 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên đường xiên và hình chiếu...

Cho hình \(10\). Hãy sử dụng định lí Py-ta-go để suy ra rằng:

a) Nếu \(HB > HC\) thì \(AB > AC\);

b) Nếu \(AB > AC\) thì \(HB > HC\);

c) Nếu \(HB = HC\) thì \(AB = AC\), và ngược lại, nếu \(AB = AC\) thì \(HB = HC\).

Áp dụng định lí Py-ta-go:

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\) (1)

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\) (2)

a) Nếu \(HB > HC ⇒ HB^2 > HC^2\).

\(⇒ AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2\)

Kết hợp với (1) và (2)

\(⇒ AB^2 > AC^2\)

\(⇒ AB > AC\)

b) \(AB > AC ⇒ AB^2 > AC^2\)

Kết hợp với (1) và (2)

\(⇒ AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2\)

\(⇒ HB^2 > HC^2\)

\(⇒ HB > HC\).

c)

- Nếu \(HB = HC ⇒ HB^2 = HC^2\).

\(⇒ AH^2 + HB^2 = AH^2 + HC^2\)

Kết hợp với (1) và (2)

\(⇒ AB^2 = AC^2\)

\(⇒ AB = AC\).

- Nếu \(AB = AC ⇒ AB^2 = AC^2\)

Kết hợp với (1) và (2)

\(⇒ AH^2 + HB^2 = AH^2 + HC^2\)

\(⇒ HB^2 = HC^2\)

\(⇒ HB = HC\).