Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi O là giao diểm của đường thẳng BN và CM. Chứng minh rằng O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Chứng minh OB = OC
|
GT |
ΔABCΔABCcân tại A,M∈AC,N∈AC,AM=MB,M∈AC,N∈AC,AM=MB, AN=NC,BN∩CM=O.AN=NC,BN∩CM=O. |
|
KL |
O thuộc trung trực BC |
Hai tam giác ABN và ACM có:
Advertisements (Quảng cáo)
AB = AC (ΔABCΔABCcân tại A)
^BAN=^CAMˆBAN=ˆCAM(góc chung)
AN=AC2=AB2=AMAN=AC2=AB2=AM(ΔABCΔABCcân tại A)
Vậy ΔABN=ΔACMΔABN=ΔACM(c-g-c). Từ đó suy ra ^ABN=^ACM,^ANB=^AMCˆABN=ˆACM,ˆANB=ˆAMC
Hai tam giác BOM và CON có:
^OMB=180o−^AMC=180o−^ANB=^ONCˆOMB=180o−ˆAMC=180o−ˆANB=ˆONC(chứng minh trên)
BM=AB2=AC2=CNBM=AB2=AC2=CN(ΔABCΔABCcân tại A)
^MBO=^ABN=^ACM=^NCOˆMBO=ˆABN=ˆACM=ˆNCO(chứng minh trên)
Vậy ΔBOM=ΔCONΔBOM=ΔCON(g-c-g). Do đó OB = OC.
Vậy O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BC. Suy ra O nằm trên trung trực của BC.
