Bài 18 trang 66 SBT Toán 8 – Cánh diều: Gọi $N$ là giao điểm của $IM$ và $AH$. Hỏi $IN$ có thể là đường trung bình của tam giác $HAB$ không? Vì sao?...

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $CH$ vuông góc với $BD\left( {H \in BD} \right)$. Gọi $I,K,M$ lần lượt là trung điểm của $BH,CH,AD$. Chứng minh:

a) Tứ giác $IKDM$ là hình bình hành;

b) Gọi $N$ là giao điểm của $IM$ và $AH$. Hỏi $IN$ có thể là đường trung bình của tam giác $HAB$ không? Vì sao?

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

a) $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BH,CH$ nên $IK = \frac{{BC}}{2},IK//BC$. Vì $IK//BC$ và $MD//BC$ nên $IK//MD$ (1). Vì $IK = \frac{{BC}}{2},MD = \frac{{BC}}{2}$ nên $IK = MD$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $IKDM$ là hình bình hành.

b) Nếu $IN$ là đường trung bình của tam giác $HAB$ thì $IN//AB$. Suy ra $IM//AB$. Mà $MA = MD$, suy ra $I$ là trung điểm của $BD$ (3). Mặt khác theo giả thiết, $I$ là trung điểm của $HB$ (4). Từ (3) và (4) suy ra vô lí. Vậy $IN$ không thể là đường trung bình của tam giác $HAB$.