Bài 20 trang 66 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD, BC\). Chứng minh: \(MN \le \frac{{AB + DC}}{2}\)...

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Chứng minh: \(MN \le \frac{{AB + DC}}{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Lấy \(I\) là trung điểm của \(BD\). Khi đó, ta có \(MI,NI\) lần lượt là các đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(BDC\) nên \(MI = \frac{{AB}}{2},NI = \frac{{CD}}{2}\).

Do đó \(MI + NI = \frac{{AB + CD}}{2}\) (1)

- Nếu \(I\) không thuộc \(MN\) ta có \(MN < MI + NI\) (bất đẳng thức tam giác).

- Nếu \(I\) thuộc \(MN\) ta có \(MN = MI + NI\).

Tức là, ta luôn có \(MN \le MI + NI\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(MN \le \frac{{AB + CD}}{2}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(I\) thuộc \(MN\), khi đó \(AB//CD\).