Bài 22 trang 67 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 74 cm...

Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 74 cm. Đường phân giác của góc $A$ chia cạnh $BC$ thành hai đoạn $BD$ và $DC$ tỉ lệ với 2 và 3, đường phân giác của góc $C$ chia cạnh $AB$ thành hai đoạn $EB$ và $EA$ tỉ lệ với 4 và 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Tính chất đường phân giác của tam giác: trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ta có:

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}$, suy ra $\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3}$ (1)

$\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{EA}} = \frac{4}{5}$, suy ra $\frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{BC}}{{12}} = \frac{{AC}}{{15}}$.

Do đó: $\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{BC}}{{12}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{10 + 12 + 15}} = \frac{{74}}{{37}} = 2$.

Vậy: $AB = 20cm,BC = 24cm,AC = 30cm$.