Bài 23 trang 67 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho hình bình hành $ABCD$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BD$ tại $E$...

Cho hình bình hành $ABCD$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BD$ tại $E$, đường phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh:

a) $\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{FC}}$;

b) $EF//AB$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác: trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

a) Tam giác $ABD$ có $AE$ là đường phân giác của góc $A$ nên $\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}$ (1).

Tam giác $ABC$ có $BF$ là đường phân giác của góc $B$ nên $\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ (2)

Vì $AD = BC$ nên từ (1) và (2) suy ra $\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{FC}}$.

b) Ta có: $\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{FC}}$ suy ra $\frac{{BE + ED}}{{ED}} = \frac{{AF + FC}}{{FC}}$ hay $\frac{{BD}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{FC}}$ hay $\frac{{2OD}}{{ED}} = \frac{{2OC}}{{FC}}$, suy ra $\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}$. Do đó $EF//CD$ hay $EF//AB$.