Bài 24 trang 67 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$ và $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm...

Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$ và $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm. Đường trung trực của đoạn $AD$ cắt cạnh $AC$ tại $E$. Tính độ dài của đoạn thẳng $DE$.

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác: trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Đường trung trực của đoạn $AD$ cắt $AC$ tại $E$ nên tam giác $AED$ cân tại $E$. Do đó $\widehat {EDA} = \widehat {EAD}$. Mà $\widehat {EAD} = \widehat {DAB}$ ($AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$), suy ra: $\widehat {EDA} = \widehat {DAB}$.

Lại có hai góc $\widehat {EDA},\widehat {DAB}$ ở vị trí so le trong nên $DE//AB$. Do đó: $\frac{{ED}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}$.

Mặt khác do $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ nên $\frac{{DC}}{{DC + DB}} = \frac{3}{{3 + 2}} = \frac{3}{5}$. Suy ra $\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{3}{5}$.

Do đó $\frac{{ED}}{{AB}} = \frac{3}{5}$. Vậy $ED = \frac{3}{5}.6 = 3,6$ (cm).