Bài 28 trang 70 SBT Toán 8 – Cánh diều: Quan sát Hình 28 biết $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}, \widehat{BAC}=\widehat{BML}$. Chứng minh: $\Delta AMN\backsim \Delta MBL$...

Quan sát Hình 28 biết $\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{BAC}=\widehat{BML}$.

a) Chứng minh: $\Delta AMN\backsim \Delta MBL$.

b) Xác định vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ để chu vi tam giác $AMN$ bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác $ABC$.

Dựa vào định nghĩa của tam giác đồng dạng:

Tam giác $A’B’C’$ gọi là đồng dạng với tam giác $ABC$ nếu:

$\widehat{A’}=\widehat{A},\widehat{B’}=\widehat{B},\widehat{C’}=\widehat{C}$ ; $\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}$.

Kí hiệu là $\Delta A’B’C’\backsim \Delta ABC$.

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{C’A’}{CA}=k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Và công thức tính chu vi tam giác.

a) Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ nên $MN//BC$. Do đó $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ (1)

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{BML}$ nên $ML//AC$. Do đó $\Delta MBL\backsim \Delta ABC$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\Delta AMN\backsim \Delta MBL$,

b) Giả sử $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $k$, ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k$.

→ $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k$ hay (Chu vi tam giác $AMN$) : (Chu vi tam giác $ABC$) $=k$.

Do đó để chu vi tam giác $AMN$ bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác $ABC$ thì $AM=\frac{2}{3}AB$.

Ngược lại, dễ thấy nếu $AM=\frac{2}{3}AB$ thì chu vi tam giác $AMN$ bằng $\frac{2}{3}$ tam giác $ABC$.

Vậy vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ để chu vi tam giác $AMN$ bằng chu vi tam giác $ABC$ là $AM=\frac{2}{3}AB$.