Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân ở \(B\), \(ACF\) vuông cân ở \(C\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC\), \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BF\) (Hình 9). Chứng minh:
a) \(AH = AK\)
b) \(A{H^2} = A{K^2} = HB.KC\).
Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
a) Đặt \(AB = c,AC = b\). Vì \(BD//AC\) (cùng vuông góc với \(AB\)) và \(BD = AB\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\)
→ \(\frac{{AH}}{{AH + HB}} = \frac{b}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{b}{{b + c}}\)
Do đó \(AH = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (1)
Tương tự, ta có \(AB//CF\) (cùng vuông góc với \(AC\)) và \(CF = AC\) nên
\(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).
→ \(\frac{{AK}}{{KC + AK}} = \frac{c}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{c}{{b + c}}\).
Do đó \(AK = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AH = AK\).
b) Từ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{b}{c}\) và \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{c}{b}\)
→ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AK}}\).
Mà \(AK = AH\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AH}}\)
Do đó \(A{H^2} = A{K^2} = BH.KC\).