Trang chủ Lớp 8 SBT Toán 8 - Cánh diều Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam...

Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân...

Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh. Vận dụng kiến thức giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều - Bài 1. Định lí Thalès trong tam giác. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân...

Question - Câu hỏi/Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân ở \(B\), \(ACF\) vuông cân ở \(C\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC\), \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BF\) (Hình 9). Chứng minh:

a) \(AH = AK\)

b) \(A{H^2} = A{K^2} = HB.KC\).

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Answer - Lời giải/Đáp án

a) Đặt \(AB = c,AC = b\). Vì \(BD//AC\) (cùng vuông góc với \(AB\)) và \(BD = AB\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\)

→ \(\frac{{AH}}{{AH + HB}} = \frac{b}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{b}{{b + c}}\)

Advertisements (Quảng cáo)

Do đó \(AH = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (1)

Tương tự, ta có \(AB//CF\) (cùng vuông góc với \(AC\)) và \(CF = AC\) nên

\(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).

→ \(\frac{{AK}}{{KC + AK}} = \frac{c}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{c}{{b + c}}\).

Do đó \(AK = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(AH = AK\).

b) Từ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{b}{c}\) và \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{c}{b}\)

→ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AK}}\).

Mà \(AK = AH\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AH}}\)

Do đó \(A{H^2} = A{K^2} = BH.KC\).