Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho \(AM = AN.\) Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho \(AM = AN.\) Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC\) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {ACB}\), mà \(\widehat {{B_1}} + \widehat {ACB} + \widehat {{A_1}} = {180^0}\). Do đó, \(\widehat {{B_1}} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {{A_1}}}}{2}\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(AM = AN\left( {gt} \right)\) nên tam giác AMN cân tại A.
Do đó, \(\widehat {{M_1}} = \widehat {ANM}\), mà \(\widehat {{M_1}} + \widehat {ANM} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\)
Do đó, \(\widehat {{M_1}} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {{A_2}}}}{2}\) (2)
Lại có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{M_1}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN//BC. Do đó, tứ giác MNBC là hình thang (5).
Ta có: \(AM = AN\left( {gt} \right)\), \(AB = AC\)(cmt) nên \(AM + AB = AN + AC\), suy ra \(BM = CN\) (6)
Từ (5) và (6) ta có: Tứ giác MNBC là hình thang cân.