Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
a) \({\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}\);
b) \({\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)\);
c) \(\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4).\)
Sử dụng các hằng đẳng thức
\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
\({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\);
\({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\);
\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\);
\({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\);
a) Ta có \({\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}\)
\( = {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - ({x^3}\; - 3{x^2}\; + 3x - 1) - 6{x^2}\)
\( = {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - {x^3}\; + 3{x^2}\; - 3x + 1 - 6{x^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = ({x^3} - {x^3}) + (3{x^2}\; + 3{x^{2\;}} - 6{x^2}) + \left( {3x - 3x} \right) + 1 + 1\)
\( = 2.\)
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
b) Ta có:
\({\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)\)
\( = {\left( {2x-3} \right)^2}\;-2.\left( {2x-3} \right).\left( {2x + 3} \right) + {\left( {2x + 3} \right)^2}\)
\( = {\left[ {2x-3-\left( {2x + 3} \right)} \right]^2}\)
\( = {\left( {2x-3-2x-3} \right)^2}\)
\( = {\left( {-6} \right)^2}\; = 36\).
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
c) Ta có:
\(\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4)\)
\( = \left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + {3^2})-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + {2^2})\)
\( = {x^3}\; - {3^3}\; - ({x^3}\; + {2^3})\)
\( = {x^3}\; - 27 - {x^3}\; - 8\)
\( = ({x^3}\; - {x^3}) - 27 - 8 = - 35.\)
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.