Bài 2.20 trang 30 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x...

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) ${\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}$;

b) ${\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)$;

c) $\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4).$

Sử dụng các hằng đẳng thức

${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$

${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$;

${\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$;

${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$;

${a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$;

a) Ta có ${\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}$

$= {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - ({x^3}\; - 3{x^2}\; + 3x - 1) - 6{x^2}$

$= {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - {x^3}\; + 3{x^2}\; - 3x + 1 - 6{x^2}$

$= ({x^3} - {x^3}) + (3{x^2}\; + 3{x^{2\;}} - 6{x^2}) + \left( {3x - 3x} \right) + 1 + 1$

$= 2.$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có:

${\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)$

$= {\left( {2x-3} \right)^2}\;-2.\left( {2x-3} \right).\left( {2x + 3} \right) + {\left( {2x + 3} \right)^2}$

$= {\left[ {2x-3-\left( {2x + 3} \right)} \right]^2}$

$= {\left( {2x-3-2x-3} \right)^2}$

$= {\left( {-6} \right)^2}\; = 36$.

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) Ta có:

$\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4)$

$= \left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + {3^2})-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + {2^2})$

$= {x^3}\; - {3^3}\; - ({x^3}\; + {2^3})$

$= {x^3}\; - 27 - {x^3}\; - 8$

$= ({x^3}\; - {x^3}) - 27 - 8 = - 35.$

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.