Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho BD=DE=EC. Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Vì ΔABC vuông cân tại A nên ˆB=ˆC=450, AB=AC
Vì GD⊥BC nên ^GDB=^GDE=900
Vì FE⊥BC nên ^FED=^FEC=900
Tam giác BDG có: ^GDB=900,ˆB=450 nên tam giác GBD vuông cân tại D, do đó, ^BGD=450 và BD=GD
Mà BD=DE nên GD=DE
Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác GBD và tam giác FCE có:
^GDB=^FEC=900,ˆB=ˆC=450,BD=EC
Do đó, ΔGDB=ΔFEC(cgv−gn), suy ra BG=FC
Mà AB=AC (cmt) nên AB−BG=AC−FC, suy ra GA=FA
Tam giác GAF vuông tại A có GA=FA nên tam giác GAF vuông cân tại A. Do đó, ^FGA=450
Ta có: ^FGA+^FGD+^DGB=1800
450+^FGD+450=1800, suy ra ^FGD=900
Tứ giác GDEF có: ^GDE+^FED+^FGD+^GFE=3600
Nên ^GFE=900
Tứ giác DEFG có: ^GDE=^FED=^FGD=^GFE=900 nên DEFG là hình chữ nhật, mà GD=DE nên DEFG là hình vuông.