Bài 9.37 trang 60 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao của tam giáBiết rằng \(BD = 2cm...

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao của tam giác. Biết rằng $BD = 2cm,CD = 8cm.$ Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC và chiều cao AD của tam giác ABC.

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để tính AD: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức định lí Pythagore để tính độ dài AB, AC: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên $AD \bot BC$. Do đó, $\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}$

Tam giác ABD và tam giác CAD có:

$\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0}\left( {cmt} \right),\widehat {BAD} = \widehat C$ (cùng phụ với góc DAC). Do đó, $\Delta ABD\backsim \Delta CAD\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ nên $A{D^2} = CD.BD = 2.8 = 16$

Do đó, $AD = 4cm$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D có:

$A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 16 + {2^2} = 20$ nên $AB = 2\sqrt 5 cm$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D có:

$A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} = 16 + {8^2} = 80$ nên $AC = 4\sqrt 5 cm$