Câu 101 trang 92 SBT Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng OB = OC...

Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

a. Chứng minh rằng OB = OC

b. Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O.

Giải:                                                                      

a. Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.

⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1)

Vì C đối xứng với A qua trục Oy nên Oy là đường trung trực của đoạn AC.

⇒ OA = OC (tính chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC.

b. Ta có: OB = OC do đó điểm B đối xứng với điểm C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thẳng hàng.

∆ OAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của $\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}$

∆ OAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của $\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}$

B, O, C thẳng hàng $\Leftrightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}$

$\eqalign{&  \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0}  \cr&  \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0}  \cr&  \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr}$

Vậy $\widehat {xOy} = {90^0}$ thì B đối xứng với C qua tâm O.