Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.
Giải:
Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
- Trong ∆ ABC ta có:
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của BC
nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ EF // AC và EF = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Trong ∆ ADC ta có:
H là trung điểm của AD
G là trung điểm của CD
Advertisements (Quảng cáo)
nên HG là đường trung bình của ∆ ADC
⇒ HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)
EF // AC (chứng minh trên)
Suy ra: EF ⊥ BD
Trong ∆ ABD ta có EH là đường trung bình
⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: EH ⊥ EF hay = 1v
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.