Câu 19 trang 87 SBT môn Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng: MN // AC....

Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N

a. Chứng minh rằng: MN // AC.

b. Tính MN theo a, b

a. Trong tam giác BAC, ta có: AM là đường phân giác của $\widehat {BAC}$

Suy ra: ${{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}$ (tính chất đường phân giác )     (1)

CN là đường phân giác $\widehat {BAC}$

Suy ra: ${{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {AB}}$ (tính chất đường phân giác )   (2)

Lại có: AB = CB = a (gt)

Từ (1), (2) và (gt) suy ra: ${{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}$

Trong tam giác BAC, ta có: ${{NA} \over {NB}} = {{MC} \over {MB}}$

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét)

b. Ta có: ${{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}$ (chứng minh trên )

Suy ra: ${{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \Rightarrow {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}$

Hay ${a \over {MC}} = {{b + a} \over a} \Rightarrow MC = {{{a^2}} \over {a + b}}$

Trong tam giác ABC, ta có:

MN // AC (chứng minh trên )

Và ${{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}$

Vậy $MN = {{AC.MB} \over {BC}} = {{b.{{{a^2}} \over {a + b}}} \over a} = {{ab} \over {a + b}}$