Câu 24 trang 88 SBT Toán 8 tập 2: Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a,...

Tam giác vuông ABC có$\widehat A = 90^\circ$, AB = a (cm), AC = b (cm), (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc cạnh BC) (h.20).

a. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.

b. Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm, b = 7,25cm.

Giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {b^2}$

Suy ra: $BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Ta có:  AM = BM $= {1 \over 2}BC$  ( tính chất tam giác vuông )

Suy ra: $AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Vì AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên:

${{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}$ (tính chất đường phân giác )

Suy ra: ${{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}$

hay ${{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}$

Vậy: $DC = BC - DB = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}$

$\eqalign{  & DM = BM - BD  \cr  &  = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}  \cr  &  = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}  \cr  &  = {{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr}$

b. Với a = 4,15cm; b= 7,25 cm, sử dụng máy tính, ta tính được:

$\eqalign{  & BC = \sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}}  \approx 8,35(cm)  \cr  & BD = {{4,15\sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}} } \over {4,15 + 7,25}} \approx 3.04(cm)  \cr  & DC \approx 5,31(cm)  \cr  & AM \approx 4,18(cm)  \cr  & DM \approx 1,14(cm) \cr}$