Câu 3.3 trang 161 Sách BT Toán 8 tập 1: Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ...

a. Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S’ là diện tích của tam giác DBC.

Chứng minh rằng ${{S’} \over S} = {{DK} \over {AH}}$

b. Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T.

Chứng minh rằng ${{MH} \over {AD}} + {{MK} \over {BE}} + {{MT} \over {CF}} = 1$

Giải:                                                          

a. Hai ∆ ABC và ∆ DBC có chung canh đáy BC nên ta có:

$\eqalign{  & {S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = S  \cr  & {S_{DBC}} = {1 \over 2}DK.BC = S’ \cr}$

Suy ra: ${{S’} \over S} = {{{1 \over 2}DK.BC} \over {{1 \over 2}AH.BC}} = {{DK} \over {AH}}$

b. Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S₁, S₂, S₃. Ta có:

S = S₁ +S₂ +S₃

Trong đó: S = ${1 \over 2}$AD. BC = ${1 \over 2}$BE. AC = ${1 \over 2}$CF . AB

$\eqalign{  & {S_1} = {1 \over 2}MT.AB  \cr  & {S_2} = {1 \over 2}MK.AC  \cr  & {S_3} = {1 \over 2}MH.BC  \cr  & {{{S_1}} \over S} = {{{1 \over 2}MT.AB} \over {{1 \over 2}CF.AB}} = {{MT} \over {CF}}  \cr  & {{{S_2}} \over S} = {{{1 \over 2}MK.AC} \over {{1 \over 2}BE.AC}} = {{MK} \over {BE}}  \cr  & {{{S_3}} \over S} = {{{1 \over 2}MH.BC} \over {{1 \over 2}AD.BC}} = {{MH} \over {AD}}  \cr  &  \Rightarrow {{MH} \over {AD}} + {{MK} \over {BE}} + {{MT} \over {CF}} = {{{S_3}} \over S} + {{{S_2}} \over S} + {{{S_1}} \over S} = {{{S_1} + {S_2} + {S_3}} \over S} = {S \over S} = 1 \cr}$