Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox
- Dựng điểm E đối xứng với A qua tia Oy
- Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C
Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì \(\widehat {xOy} < {90^0}\) nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ∆ ABC luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi ∆ ABC bằng AB + BC + AC
Vì D đối xứng với A qua Ox nên Õ là đường trung trực của AD
Advertisements (Quảng cáo)
⇒ AB = BD ( tính chất đường trung trực)
E đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AE
⇒AC = CE ( tính chất đường trung trực)
Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE (1)
Lấy B’ bất kì trên Ox, C’ bất kì trên tia Oy. Nối C’E, C’A, B’A, B’D.
Ta có: B’A = B’D ( tính chất đường trung trực)
C’A = C’E (tính chất đường trung trực)
Chu vi ∆ AB’C’ bằng AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E (2)
Vì DE ≤ B’D + B’C’ + C’E (dấu bằng sảy ra khi B’ trùng B. C’ trùng C)
nên chu vi của ∆ ABC ≤ chu vị của ∆ A’B’C’
Vậy ∆ ABC có chu vi bé nhất.