Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:
a. IA = BC; b. IA ⊥ BC.
Giải:
a. \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\)
\(\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}(gt)\)
Suy ra: \(\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (1)
AE // DI (gt)
⇒ \(\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Xét ∆ ABC và ∆ DAI :
AB = AD (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\) (chứng minh trên)
AC = DI (vì cùng bằng AE)
Do đó: ∆ ABC = ∆ DAI (c.g.c) ⇒ IA = BC
b. ∆ ABC = ∆ DAI ( chứng minh trên) \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\) (3)
Gọi giao điểm IA và BC là H.
Ta có: \({\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (kề bù)
mà \(\widehat {BAD} = {90^0}(gt) \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \({\widehat B_1} = {\widehat A_2} = {90^0}\)
Trong ∆ AHB ta có: \(\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\)
Suy ra \(\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\) hay IA ⊥ BC