Câu 88 trang 90 SBT Toán 8 tập 1: Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại...

Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:

a. IA = BC;                                       b. IA ⊥ BC.

Giải:    

a. $\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}$

    $\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}(gt)$

Suy ra: $\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}$ (1)

            AE // DI (gt)

⇒ $\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  

Xét ∆ ABC và ∆ DAI :

AB = AD (gt)

$\widehat {BAC} = \widehat {ADI}$ (chứng minh trên)

AC = DI (vì cùng bằng AE)

Do đó: ∆ ABC = ∆ DAI (c.g.c) ⇒ IA = BC

b. ∆ ABC = ∆ DAI ( chứng minh trên) $\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}$  (3)

Gọi giao điểm IA và BC là H.

Ta có: ${\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}$ (kề bù)

mà $\widehat {BAD} = {90^0}(gt) \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ${\widehat B_1} = {\widehat A_2} = {90^0}$

Trong ∆ AHB ta có: $\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}$

Suy ra $\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC$ hay IA ⊥ BC