Cho bình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:
a) \(\Delta IAM = \Delta ICN\)
b) Tứ giác AMCN là hình bình hành.
c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.
a) Chứng minh \(\Delta IAM = \Delta ICN\)(g-c-g)
b) Chứng minh tứ giác AMCN có cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
c) Chứng minh I là trung điểm của BD.
a) Xét tam giác IAM ta có: \(\widehat {AMI} + \widehat {MIA} + \widehat {MAI} = {180^o}\)
Xét tam giác ICN có: \(\widehat {CNI} + \widehat {NIC} + \widehat {NCI} = {180^o}\)
Vì: \(\widehat {MIA} = \widehat {NIC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {MAI} = \widehat {NCI}\) (do AB // CD)
Suy ra: \(\widehat {AMI} = \widehat {CNI}\)
Xét tam giác IAM và tam giác ICN có:
\(\widehat {AMI} = \widehat {CNI}\)
AM = CN
\(\widehat {MIA} = \widehat {NIC}\)
\( \Rightarrow \Delta IAM = \Delta ICN(g - c - g)\)
b) Ta có: AM = CN (gt)
AM // CN (vì M \( \in\) AB, N \( \in\) CD)
Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.
c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành
Suy ra I là trung điểm của AC
Suy ra I là trung điểm của BD (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra ba điểm B, I, D thẳng hàng.