Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC
a) Chứng minh rằng tứ giác ANEB là hình thang vuông
b) Chứng minh rằng tứ giác ANEM là hình chữ nhật
c) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt EN tại F. Chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình thoi
d) Gọi D là điểm đối cứng của E qua M. Chứng minh rằng A là trung điểm của DF
a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thang vuông
b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi
d) Chứng minh 3 điểm A, E, F thẳng hàng và AD=AF (do cùng bằng BE)
a) Xét tam giác ABC vuông tại A có E là trung điểm của BC nên AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC nên AE = BE = EC = 12 BC.
Vì AE = EC nên E thuộc đường trung trực của AC. Vì N là trung điểm của AC nên N thuộc đường trung trực của AC.
=> EN là đường trung trực của AC hay EN⊥AC
Ta có AB⊥AC,EN⊥AC⇒AB//EN nên ANEB là hình thang.
Vì ^BAN=900 nên ANEB là hình thang vuông.
b) M, E lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt);
Suy ra ME là đường trung bình của ΔABC
Suy ra ME // AC hay ME // AN
Mà AM // NE (do AB // NE)
Suy ra tứ giác AMEN là hình bình hành
Advertisements (Quảng cáo)
Mà ^MAN=90∘ nên AMEN là hình chữ nhật
c) Xét tứ giác BMFN có: MF // BN (gt) và BM // FN (do AB // NE)
Suy ra BMFN là hình bình hành
Suy ra BM=FN
Mặt khác NE=AM (Tứ giác ANEM là hình chữ nhật) và AM=BM
Suy ra FN=NE
Tứ giác AFCE có N là trung điểm của AC và EF
Suy ra AFCE là hình bình hành
Mà AC⊥EF
Do đó AFCE là hình thoi
d) Xét tứ giác ADBE ta có: DE và AB cắt nhau tại M (gt)
Mà M là trung điểm của AB (gt)
M là trung điểm của DE (do D đối xứng với E qua M)
Suy ra ADBE là hình bình hành
Suy ra AD // BE hay AD // EC
Mà AF // EC (do AECF là hình thoi)
Suy ra A,D,F thẳng hàng (1)
Mà ADBE là hình bình hành
Suy ra BE // AD
Mà AF=EC (do AFCE là hình thoi); EB=EC (gt)
Suy ra AD=AF(2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của DF